Himpunan

Himpunan

1.Definisi

Dalam matematika,Himpunan adalah kumpulan dari beberapa elemen yang menjadi satu kesatuan.

2.Notasi Himpunan

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	{\displaystyle S}AA
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	{\displaystyle a}a
Kelas	Huruf tulisan tangan	{\displaystyle {\mathcal {C}}}C

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	{\displaystyle \mathbb {N} }N	{\displaystyle \mathbb {Z} }Z	{\displaystyle \mathbb {Q} }Q	{\displaystyle \mathbb {R} }R	C{\displaystyle \mathbb {C} }

 3.Cara Penyajian Himpunan :

1. Enumerasi
   Enumerasi adalah mendaftarkan semua anggota himpunan.
   
   Contoh :
   -  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.   
   -  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
   -  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
   -  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
   -  C  = {{a}, {a}, {a} }
   -  K  = { {} }                                   
   -  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }   
   -  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
2. Simbol - Simbol Baku
   Penulisan himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering digunakan dalam penjabaran matematika.
   
   Contoh :
   P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }
   N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }
   Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
   Q =  himpunan bilangan rasional
   R =  himpunan bilangan riil
   C =  himpunan bilangan kompleks
   
   Terdapat penulisan simbol Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan Semesta, disimbolkan dengan U.
   
   Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
   Penulisan notasi adalah { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }
   
   Contoh  :
   A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 8
   A = { x | x  bilangan bulat positif lebih kecil dari  8} atau A  =  { x | x  P, x < 8 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}    

4. Diagram Venn
   Diagram venn adalah cara lain untuk menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau diagram. Diagram venn ini pertama kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).

Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:

o    Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri diberi simbol S.

o    Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.(lihat gambar di atas)
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

o    Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tutup sederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A dan B di dalam himpunan S.

Yang dimaksud Irisan Himpunan adalah anggota persekutuan antara A dan B (lihat gambar di atas).

Irisan himpunan dari persekutuan A dan B adalah 2, 4, 6, 8.

4.Kardinalitas

Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya Jumlah Anggota.

Himpunan Kardinalitas terdiri dari :

a.Himpunan Berhingga (finit) dan Himpunan Tak berhingga (infinit)

         Himpunan Berhingga (finit) adalah himpunan yang anggotanya berbatas.

         Contoh :

         A = {Himpunan bilangan genap < 10 }  => A = ( 2,4,6,8 }

         B = {Himpunan bilangan ganjil < 10 }   => B = { 1,3,5,7,9 }

b.Himpunan Tak Berhingga (infinit) adlah himpunan yang anggotanya berbatas.

        Contoh :

        A = { Himpunan bilangan genap }  =>  A = { 2,4,6,8,… }

        B = { Himpunan bilangan ganjil }  => B = { 1,3,5,7,9,… }

c.Himpunan Denumerable dan Himpunan Nondenumerable

   – Himpunan Denumerable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan Himpunan N yaitu Himpunan bilangan asli.

     Contoh :

     A = { Himpunan bilangan asli }  =>A = { 1,2,3,4,5,… }

   – Himpunan Nondenumberable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan himpunan R yaitu himpunan bilangan riil.

     Contoh :

     A = { Himpunan bilangan riil } =>A = { 1.01,1.001,1.0001,… }

d.Himpunan Countable dan Himpunan Uncountable

     –  Himpunan Countable jika himpunan itu merupakan himpunan finit atau denumberable.

        Contoh :

        Dalam kehidupan sehari-hari : Beras , Rambut (memiliki unit )

        Dalam bilangan : semua bilangan yang berbatas

    –  Himpunan Uncountable hika himpunan itu merupakan infinit atau nodumerable.

       Contoh :

       Dalam kehidupan sehari-hari : Air, Udara

       Dalam bilangan : bilangan rill

5.Macam-macam himpunan :

1. Himpunan bilangan asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

2. Himpunan bilangan cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }

3. Himpunan bilangan prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, .... }

4. Himpunan bilangan genap

G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, .... }

5. Himpunan bilangan ganjil

G = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }

6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, .... }

7. Himpunan tak hingga

A = { 1, 3, 5, 7, ..... }, (n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)

8. Himpunan berhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)

9. Himpunan bagian

A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Semua anggota himpuna A adalah merupakan anggota himpunan B. Sehingga dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

10. Himpunan semesta

Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }

11. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jika himpunan K = {0}, himpunan K bukan merupakan himpunan kosong karena himpunan K mempunyai 1 anggota, yaitu bilangan 0.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

∅={ }

12. Himpunan ekuivalen/himpunan sama

   Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama

   contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B

13.Himpunan lepas

Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. ContohnyaA = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.