Matriks Relasi Dan Fungsi

MATRIKS RELASI DAN FUNGSI

1.MATRIKS

  Didalam matematika diskrit, matriks digunakan untuk merepresentasikan struktur diskrit Struktur diskrit yang direpresentasikan dengan matriks antara lain relasi, graf dan pohon.

A.Definisi Matriks :

Matriks adalah susunan skalar /elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom

B.Beberapa matriks khusus

          Terdapat beberapa matriks khusus yang ditemukan dalam

pembahasan matematika, antara lain :

A.Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.

B.Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1.

C.Matriks segitiga atas / bawah

D.Matriks Transpose

baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan.

Baris pertama menjadi kolom pertama

Baris kedua menjadi kolom kedua

Baris ketiga menjadi kolom ketiga

E.Matriks setangkup (symmetry)

F.Matriks 0 / 1 (zero-one)

Matriks 0 / 1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

2. RELASI

Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi.

Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner, didefinisikan sebagai berikut :

          Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

          Notasi : R Í (A x B)

1. Representasi Relasi

A.Representasi Relasi dengan Diagram Panah.

            

B. Representasi Relasi dengan Tabel

Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

C. Representasi Relasi dengan Matriks

Misalkan R adalah relasi dari A = { a, b, c,….}

dan B = { 1, 2, 3, ….}.

Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [M_ij]

d. Representasi Relasi dengan  Graf Berarah.

2. Relasi Inversi

          Jika diberikan relasi R pada himpunan A ke himpunan B, kita bisa mendefinisikan relasi baru dari B ke A dengan cara membalik urutan dari setiap pasangan terurut di dalam R. Relasi baru tersebut dinamakan inversi dari relasi semula.

a.Definisi Relasi Inversi :

          Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^-1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh :

                R^-1 = {(b,a) | (a,b) Î R }

b.Mengkombinasikan Relasi

          Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan antara 2 relasi atau lebih juga berlaku. Hasil operasi tersebut juga berupa relasi.

          Dengan kata lain jika R₁ dan R₂ masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan  B, maka R₁ Ç R₂, R₁ È R₂, R₁ – R₂, dan R₁       R₂ juga relasi dari A ke B.

c. Komposisi Relasi

Definisi :

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S , dinotasikan dengan  S o R = {(a,c)|a Î A, c Î C, dan untuk beberapa b Î B, (a,b) Î R, dan (b,c) Î S

3. Sifat-sifat Relasi Biner

Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat, yaitu :

a.Refleksif

Definisi :

          Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap  a Î A

b. Setangkup dan tak setangkup (simetris dan antisimetris)

Definisi :

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a,b Î A, jika (a,b) Î R, maka (b,a) Î R.

Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

a. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}

      bersifat setangkup karena jika (a,b) ÎR maka (b,a)     

       juga ÎR.

       Disini (1,2)dan(2,1)ÎR begitu juga (2,4) dan (4,2)ÎR

 b. Relasi R {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} tidak setangkup

       karena (2,3) Î R, tetapi (3,2) tidak Î R

Relasi R pada himpunan A disebut tolak setangkup jika untuk semua a,b Î A , (a,b) Î R dan (b,a) Î R hanya jika a = b

c.Menghantar (transitif)

Definisi

          Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R, untuk a, b, c  Î A

Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini

          didefinisikan pada himpunan A, maka

          Relasi R {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} bersifat menghantar.

          Periksa dengan membuat tabel berikut :

                                                 

4. Relasi n-ary

Relasi n-ary adalah relasi yang menghubungkan lebih dari dua himpunan.

3. Fungsi

Definisi :

Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B, kita menuliskan :

          f : A ® B , yang artinya f memetakan A ke B.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

f(a)=b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Jika f(a)=b , maka b dinamakan bayangan (image) dari a

          dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b

          Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range)

3. Beberapa Fungsi Khusus

Bagian ini memberikan beberapa fungsi yang dipakai di dalam ilmu komputer, yaitu fungsi :

a. Fungsi Floor dan Ceiling

          Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.

          Fungsi floor dari x, dilambangkan dengan ëxû dan fungsi ceiling dari x dilambangkan  dengan éxù.

         

Definisi fungsi floor dan ceiling adalah :

ëx menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

Definisi fungsi floor dan ceiling adalah :

éx menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x.Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.

b. Fungsi Modulo

          Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.

          Fungsi modulo adalah fungsi dengan operator mod, yang dalam hal ini :

         

          a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m.

 a mod m = r  sedemikian sehingga

 a = mq + r, dengan  0 £ r £ m

c. Fungsi Faktorial

Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n, faktorial dari n, dilambangkan dengan n!.

d. Fungsi Eksponensial dan Logaritmik.

4. Fungsi Rekursif (relasi rekursif)

Definisi :

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

Fungsi rekursif adalah relasi rekursif, karena fungsi adalah bentuk khusus dari relasi.

Fungsi Rekursif disusun oleh dua bagian :

a. Basis :

          Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif (dan memberikan sebuah nilai yang terdefinisi pada fungsi rekursif ).

          n! = 1         ,jika n = 0

b. Rekurens :

          Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal ( basis ).

          n! = n x (n - 1) !      , jika n > 0

Untuk lebih jelasnya :
https://youtu.be/cg-rDMsRzs0