Aljabar Boolean

-
Aljabar Boolean

A. Definisi Aljabar Boolean
Misalkan terdapat :
v  Dua operator biner : + ( OR ) dan · ( AND)
v  Sebuah operator uner : ’.
v  B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +,·, dan ’
v  0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel (B, +, ·, ’,0,1) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure        :(i)  a + b Î B   
                        (ii) a · b Î B     
2. Identitas      :(i)  a + 0 = a
                        (ii) a · 1 = a
3. Komutatif   :(i)  a + b = b + a
                                    (ii)  a · b = b · a
4. Distributif   :(i)   a · (b + c) = (a·b) + (a · c)
                                    (ii)  a + (b · c) = (a + b) · (a + c)                              
5. Komplemen :(i)  a + a’ = 1
(ii)  a · a’ = 0

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1.      Elemen-elemen himpunan B,
2.      Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3.      Memenuhi postulat Huntington.



B. Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
v  B = {0, 1}
v  operator biner, + dan ·
v  operator uner, ’
Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

A
b
a × b
a
B
a + b
A
a’
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1.      Closure :  jelas berlaku
2.      Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i)  0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0  = 0 × 1 = 0
3.      Komutatif:  jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4.      Distributif:
      (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas  dengan membentuk tabel kebenaran:

A
b
c
b + c
a × (b + c)
a × b
a × c
(a × b) + (a × c)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1


(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel diatas memperlihatkan bahwa:
    (i)  a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
    (ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0 
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.

C. Ekspresi Boolean
Misalkan (B, +,·, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ·’) adalah:
(i)   setiap elemen di dalam B,
(ii)  setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 × e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:           0
                        1
                        a
                        b
                        c
                        a + b
                        a × b
                        a’× (b + c)
                        a × b’ + a × b × c’ + b’, dan sebagainya

D. Mengevaluasi Ekspresi Boolean
Contoh:  a’× (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’× (1 + 0) = 1 × 1 = 1
Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
a . (b + c) = (a . b) + (a .c)
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:

A
b
a’
a’b
a + a’b
a + b
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1

Perjanjian: tanda titik (×) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
11.a(b + c) = ab + ac
22. a + bc = (a + b) (a + c)
33. a × 0 , bukan a0           

E. Prinsip Dualitas
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, ·, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
                        ·   dengan  +
            +  dengan  ·
                        0  dengan  1
            1  dengan  0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
Contoh. 
(i)   (a × 1)(0 + a’) = 0  dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1
(ii)  a(a‘ + b) = ab       dualnya a + a‘b = a + b

F. Hukum-hukum Aljabar Boolean
1.Hukum identitas:
      1.      a + 0 = a
      2.      a × 1 = a
      2. Hukum idempoten:
1.      a + a = a
2.      a × a = a
     3. Hukum komplemen:
      1.      a + a’ = 1
      2.      aa’ = 0
     4. Hukum dominansi:
1.      a × 0  = 0
2.      a + 1 = 1
     5. Hukum involusi:
      1.      (a’)’ = a
     6.  Hukum penyerapan:
1.      a + ab = a
2.      a(a + b) = a
     7. Hukum komutatif:
      1.      a + b = b + a
      2.      ab = ba
     8. Hukum asosiatif:
1.      a + (b + c) = (a + b) + c
2.      a (b c) = (a b) c
9.  Hukum distributif:
1.      a + (b c) = (a + b) (a + c)
2.      a (b + c) = a b + a c
    10. Hukum De Morgan:
1.      (a + b)’ = a’b’
2.      (ab)’ = a’ + b’
11.  Hukum 0/1                                            
1.      0’ = 1                                              
2.      1’ = 0



















Contoh Buktikan (i) a + a’b = a + b   dan   (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:

(i)        a + a’b             = (a + ab) + a’b                      (Penyerapan)
                                    = a + (ab + a’b)                       (Asosiatif)
                                    = a + (a + a’)b                         (Distributif)
                                    = a + 1 · b                               (Komplemen)
                                    = a + b                                     (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)

G. Fungsi Boolean
v  Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn ® B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
v  Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
v Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .
            Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1.      f(x) = x
2.      f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3.      f(x, y) = x’ y’
4.      f(x, y) = (x + y)’
5.      f(x, y, z) = xyz’   

v  Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
 Penyelesaian:
  
X
y
z
f(x, y, z) = xy z’
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0

H. Komplemen Fungsi
1.Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah 
     (i)             (x1 + x2)’ = x1’x2’
  (ii)             (x1x2)’ = x1’+ x2’  (dual dari (i))
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
    f ’(x, y, z)  = (x(y’z’ + yz))’
                           =  x’ + (y’z’ + yz)’
                           =  x’ + (y’z’)’ (yz)’
                           =  x’ + (y + z) (y’ + z’)                                                                     
2.Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
dual dari  f:x + (y’ + z’) (y + z)

komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
 Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)     
                 
I.Bentuk Kanonik
v Ada dua macam bentuk kanonik:
1.       Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2.       Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh:
1.      f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz  à SOP
Setiap suku (term) disebut minterm                                  
2.      g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) à POS Setiap suku (term) disebut maxterm
v Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap






























Contoh  . Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
                   Tabel 1

Penyelesaian:

a. SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x, y, z) =  x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),                    
f(x, y, z) =  m1 + m4 + m7 = å (1, 4, 7)

b. POS           
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010,  011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
 f(x, y, z)  =  (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)
   (x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)
                       atau dalam bentuk lain,                 
f(x, y, z) =  M0 M2 M3 M5 M6 = Õ(0, 2, 3, 5, 6)    

Contoh . 
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
      (a) SOP
            x          = x(y + y’)
                        = xy + xy’
                        = xy (z + z’) + xy’(z + z’)
                        = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
            y’z       = y’z (x + x’)
                         = xy’z + x’y’z
            Jadi  f(x, y, z)               = x + y’z
                                                 = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
                                                 = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
      atau  f(x, y, z)                     = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = S (1,4,5,6,7)
(b) POS
            f(x, y, z)            = x + y’z
                                     = (x + y’)(x + z)
            x + y’               = x + y’ + zz’
 = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
            x + z                  = x + z + yy’  
                                     = (x + y + z)(x + y’ + z)
            Jadi, f(x, y, z)   = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
                                    = (x + y  + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
            atau f(x, y, z)    = M0M2M3       = Õ(0, 2, 3)    














Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PREFIX, INFIX Dan POSTFIX

-
Gambar
PREFIX, INFIX Dan POSTFIX Dalam struktur data yang kita pelajari secara umum ada 3 notasi operasi yang dilakukan untuk suatu operasi aritmatika, yakni Infix, Prefix dan Postfix. Dan untuk mengetahui notasi-notasi yang di atas itu sebelumnya kita harus mengenal dan mengetahui indikator yang ada di notasi tersebut. Notasi ini terbentuk dari Operand (data yang membantu dalam proses) dan Operator (fungsi yang di gunakan dalam proses). Contohnya :  A + B * C 2 + 5 * 3 Keterangan : -->> A, B, C, 2, 3, 5  >> Operand                     -- >> +, *                 >> Operator Setelah mengenal dan mengetahui Operand dan Operator, maka mari kita mengenal juga tingkat / level dalam notasi tersebut : ()      --->>>  Kurung ...
Baca selengkapnya

PERMUTASI DAN KOMBINASI

-
Gambar
PERMUTASI DAN KOMBINASI A. Permutasi        Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan objek atau unsur yang diambil dari sekelompok objek atau unsur yang tersedia. Banyak permutasi dari k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan Susunan pada permutasi memperhatikan urutan artinya AB dengan BA dihitung berbeda.   Contoh : a.Tentukan nilai  b. Tentukan banyaknya susunan atau permutasi dua huruf yang diambil dari 4 huruf A , B , C , D. Jawab : c. Dalam suatu perlombaan balap sepeda yang terdiri dari 7 orang akan diambil 3 orang sebagai juara yaitu : juara I, juara II dan juara III. Tentukan kemungkinan susunan juara yang terjadi ! Jawab : d. Berapa banyaknya cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.  Jawab: Jika salah seorang selalu ...
Baca selengkapnya

Keamanan Sistem Komputer

-
Gambar
A. ALGORITMA   1. Deskripsikan hubungan KSK dengan Algoritma Kriptografi Anggota Kelompok           Sebelum membahas hubungan keamanan jaringan dan kriptografi kita harus tau pengertian dari kedua hal tersebut. Pertama kita membahas pengetian kriptografi. Kriptografi berasal dari bahasa Yunani, terdiri dari dua suku kata yaitu kripto dan graphia. Kripto artinya menyembunyikan, sedangkan graphia artinya tulisan. Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi, seperti kerahasiaan data, keabsahan data, integritas data, serta autentikasi data. Tetapi tidak semua aspek keamanan informasi dapat diselesaikan dengan kriptografi. Sedangkan Keamanan jaringan adalah suatu cara atau suatu system yang digunakan untuk mmberikan proteksi atau perlindungan pada suatu jaringan agar terhindar dari berbagai ancaman luar yang mampu merusak jaringan. Ada dua elemen utama pembentuk keama...
Baca selengkapnya